Teorema Bayes
Sesuai dengan rumus kejadian bersyarat, diketahui bahwa:
P (A dan B) = P(A) x P(B/A) = P(B) x P(A/B)
Dari persamaan itu didapatkan:
P(A/B) = P(A) x P (B/A) : P(B)
Misalkan : bahwa peristiwa B hanya bisa terjadi jika salah satu peristiwa
A1, A2,…An juga terjadi, dimana n peristiwa A tersebut saling asing.
Maka: B = A1B + A2B + … + AnB
P(B)= P(A1 dan B) + P(A2 dan B) + … + P(An dan B)
= P(A1) . P(B/A1) + P(A2)
. P(B/A2) + … + P(An) . P(B/An)
= S P(Ai).P(B/Ai)
Dengan demikian kita dapatkan:
P(Ak/B) = P(Ak).P(B/Ak) : S P(Ai).
P(B/Ai)
Rumus ini masuk kedalam teorema bayes
Diulang lagi : Peristiwa B hanya bisa
terjadi jika salah satu peristiwa A1, A2,…An juga terjadi, dimana n peristiwa A
tersebut saling asing
Contoh:
Sebuah pabrik menggunakan 4 buah mesin (A1…A4), untuk menghasilkan
satu macam barang, hasilnya pada akhir bulan adalah,mesin A1=100, A2=120,
A3=180, A4=200. Jumlah seluruhnya adalah 600. Mesin A1 dan A2 memiliki
probabilitas barang yang rusak 5%, sedangkan A3 dan A4 sebesar 1%. Jika dari
600 barang tersebut diambil 1 secara random dan tenyata rusak berapakah probabilitasnya bahwa barang
tersebut berasal dari mesin A4?
Jawab
Probabilitas bahwa sebuah barang berasal dari mesin A1 = P(A1) =
100/600 = 1/6, sejalan dengan
P(A2) = 120/600 = 1/5
P(A3) = 180/600 = 1/3
P(A4) = 200/600 = 1/3
Selanjutnya kita ketahui probabilitas bahwa sebuah barang yang
rusak berasal dari mesin A1 = P(R/A1)=.05, sejalan dengan
P(R/A2)=.05
P(R/A3)=.01
P(R/A4)=.01
Dengan rumus bayes P(A4/R) dapat dihitung:
P(A4/R) = P(A4).P(R/A4) : S P(Ai).
P(B/Ai)
= 1/3 x 1/100 :
(1/6 x 5/100)+(1/5 x 5/100)+(1/3 x 1/100)+(1/3 x 1/100)
= 10/74 = .135
Mari kita sama-sama belajar statistik!
