Teorema Bayes Statistik

Teorema Bayes

Sesuai dengan rumus kejadian bersyarat, diketahui bahwa:

P (A dan B) = P(A) x P(B/A) = P(B) x P(A/B)

Dari persamaan itu didapatkan:

P(A/B) = P(A) x P (B/A) : P(B)

Misalkan : bahwa peristiwa B hanya bisa terjadi jika salah satu peristiwa A1, A2,…An juga terjadi, dimana n peristiwa A tersebut saling asing.

Maka: B = A1B + A2B + … + AnB

P(B)= P(A1 dan B) + P(A2 dan B) + … + P(An dan B)

      = P(A1) . P(B/A1) + P(A2) . P(B/A2) + … + P(An) . P(B/An)

     = S P(Ai).P(B/Ai)

Dengan demikian kita dapatkan:

P(Ak/B) = P(Ak).P(B/Ak) : S P(Ai). P(B/Ai)

Rumus ini masuk kedalam teorema bayes

Diulang lagi : Peristiwa B hanya bisa terjadi jika salah satu peristiwa A1, A2,…An juga terjadi, dimana n peristiwa A tersebut saling asing

Contoh:

Sebuah pabrik menggunakan 4 buah mesin (A1…A4), untuk menghasilkan satu macam barang, hasilnya pada akhir bulan adalah,mesin A1=100, A2=120, A3=180, A4=200. Jumlah seluruhnya adalah 600. Mesin A1 dan A2 memiliki probabilitas barang yang rusak 5%, sedangkan A3 dan A4 sebesar 1%. Jika dari 600 barang tersebut diambil 1 secara random dan tenyata rusak berapakah probabilitasnya bahwa barang tersebut berasal dari mesin A4?

Jawab

Probabilitas bahwa sebuah barang berasal dari mesin A1 = P(A1) = 100/600 = 1/6, sejalan dengan

P(A2) = 120/600 = 1/5

P(A3) = 180/600 = 1/3

P(A4) = 200/600 = 1/3

Selanjutnya kita ketahui probabilitas bahwa sebuah barang yang rusak berasal dari mesin A1 = P(R/A1)=.05, sejalan dengan

P(R/A2)=.05

P(R/A3)=.01

P(R/A4)=.01

Dengan rumus bayes P(A4/R) dapat dihitung:

P(A4/R) = P(A4).P(R/A4) : S P(Ai). P(B/Ai)

            = 1/3 x 1/100 : (1/6 x 5/100)+(1/5 x 5/100)+(1/3 x 1/100)+(1/3 x 1/100)

            = 10/74 = .135

Mari kita sama-sama belajar statistik!

Read More

Konsep dasar Probabilitas statistik

Hubungan antara peristiwa satu dengan yang lain

1.       Mutually exclusive

Hubungan peristiwa yang saling meniadakan atau saling asing. Artinya kalau suatu peristiwa terjadi, tidak mungkin peristiwa lain juga terjadi. Contoh: Jika sebuah dadu dilempar, jika satu permukaan sudah tampak diatas, tidak mungkin permukaan lain akan Nampak pula

Contoh statistik:

Kemungkinan saat ini si Hasan sedang tidur adalah .30 sedang kemungkinan ia sedang mandi .20. berapa kemungkinan sekarang ia sedang mandi atausedang tidur? Jawabnya:

Misalkan tidur peristiwa A            PA = .30

                Mandi peristiwa B            PB = .20

P(A atau B) =.30 +.20 = .50

Jadi kemungkinan saat ini dia sedang mandi atau tidur adalah .50. jika ditanya, berapa prob. Saat ini Hasan tidur dan mandi? Jawabnya adalah 0, sebab tidak mungkin orang tidur bias mandi. (hadehh..ada2 aja)

2.       Independent

Hubungan peristiwa dikatakan independent yaitu apabila terjadi suatu peristiwa tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa lain. Jadi peristiwa2 ini bias terjadi bersama-sama, saah satu saja, atau tidak terjadi semuanya

Contoh statistik;

Dua buah dadu di lempar bersama-sama. Berapakah kemungkinan:

-          Mendapat permukaan 1 semua dari 2 dadu itu yang tampak diatas

-          Mendapatkan permukaan nomor 1 pada dadu pertama atau dadu ke 2 yang tampak diatas

Jawab: dadu tidak saling mempengaruhi satu sama lain (jadi suka2 dia mau nomer nerapa yang keluar). Misalnya mendapat permukaan nomer 1 pada dadu ke-1 (disebut Peristiwa A) dan mendapat permukaan nomer 1 pada dadu ke-2 (disebut peristiwa B)

Maka PA = 1/6 dan PB= 1/6

-          P (A dan B) = PA x PB = (1/6)x2 = 1/36 (Jadi, kemungkinan dua dadu itu muncul permukaan nomer 1 semua = 1/36)

-          P (A atau B) = PA + PB- P (A dan B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36 (jadi, kemungkinan salah satu dari 2 dadu itu muncul permukaan nomer 1 = 11/36)

3.       Conditional

Hubungan ini dikatakan conditional atau bersyarat apabila terjadinya suatu peristiwa harus didahului peristiwa lain. Misalnya, peristiwa B hanya bias terjadi jika terjadi peristiwa A, maka terlebih dahulu harus kita bedakan 2 macam probabilitas:

PA = probabilitas terjadinya peristiwa A, atau peristiwa yang pertama

P(B/A) = probabilitas terjadinya peristiwa B setelah peristiwa A terjadi

Rumus untuk mencari prob. B

PB = PA x P(B/A)

Contoh : penelitian terhadap 100 tamatan SLTP tentang jenis kelamin dan hasil ujian dalam pelajaran biologi yang mereka peroleh adalah sbb:

Nilai biologi (A)	A1 (< 6)	A2 (≥ 6)	Jumlah
Jeis kelamin (B)
B1 (pria)	25	45	70
B2 (wanita)	20	10	30
jumlah	45	55	100

Disini kita mempunyai 2 sifat klasifikasi ,yakni jenis keamin (B) dan Nilai (A). dari data tersebut maka:

P (B1) = P (B1A1) + P (B1A2) = 25/100 + 45/100 = 70/100

P (B2) = P (B2A1) + P (B2A2) = 20/100 + 10/100 = 30/100

Demikian pula

P (A1) = P (A1B1) + P (A1B2) = 25/100 + 20/100 = 45/100

P (A2) = P (A2B1) + P (A2B2) = 45/100 + 10/100 = 55/100

Probabilitas dinamakan marginal probability.

Jadi, berapakah probabilitasnya bahwa tamatan yang mendapatkan nilai kurang dari 6 adalah anak perempuan? . ini adalah sama dengan probabilitas bersyarat dari B2 (anak wanita) kalau telah diketahui nilainya kurang dari 6 (A1)

P (B2/A1) = P (A1B2) / P (A1) = 20/100 : 45/100 = 20/45

Jadi, P(A1B1) = P (A1) . P (B2/A1) = 45/100 x 20/45 = 20/100

Mari kita sama-sama belajar statistik!

Read More